Bildverarbeitung mit Fouriertransformation

Die Fouriertransformation (FT) ist ein vielfach genutztes Hilfsmittel für strukturelle Untersuchungen aller Art. Periodisch wiederkehrende Funktionen werden durch die FT sichtbar. Mit der Fouriertransformation können z.B. die einzelnen Frequenzen eines Tongemisches herausgefiltert werden oder regelmäßige Strukturen in einem Bild untersucht werden. In dieser Arbeit wurde die FT verwendet um zu untersuchen, ob bzw. wie regelmäßig die hexagonale Struktur des HPI-layers auf die dünne darüberliegende Schicht übertragen wurde. Die zweidimensionale FT und Rücktransformation folgt dem zweidimensionalem Fourierpaar [9, Seite 241]:

$$F(u,v) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)e^{-2\pi i(ux+vy)}dx\,dy$$ (3.5)

$$f(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(u,v)e^{2\pi i(ux+vy)} du\,dv$$ (3.6)

Eine numerische Berechnung der Fouriertransformation, die für eine Berechnung durch den Computer notwendig ist, stützt sich grundsätzlich auf die diskrete Fouriertransformation [9, Seite 379]:

$$F(\mu ,\nu ) = M^{-1}N^{-1} \sum_{\sigma =0}^{M-1} \sum_{\t... ...^{N-1} f(\sigma ,\tau ) e^{-2\pi i(\mu \sigma /M+\nu\tau /N)}$$ (3.7)

Die Auswertung der diskreten FT dauert für große M und N selbst bei sehr schnellen Rechnern noch relativ lange. Es wurde jedoch schon früh die schnelle Fouriertransformation (FFT)^3.7 entwickelt, die eine einfache Berechnung der FT durch einen besonderen Algorithmus ermöglicht. Ausführliche Erörterungen zum FFT-Algorithmus sind z.B. in [9] und [10] zu finden.

Die FT hat für die strukturellen Untersuchungen in dieser Arbeit zwei große Vorteile: Erstens ist es über die FT sehr einfach, aus den REM- und AFM-Aufnahmen, hoch- und niederfrequentes Rauschen herauszufiltern und dadurch die Struktur deutlicher herauszustellen. Zweitens schließt die FT eine optische Täuschung des menschlichen Auges aus.

Abbildung: Filterungsprozeß über die Fouriertransformation; (a) Ursprungsbild, (b) Fouriertransformation des Ursprungsbildes, (c) Fouriertransformation nach dem Filterprozeß, (d) Rücktransformation

Die REM und AFM Bilder der Proben werden zur Bewertung mit dem Bildbearbeitungsprogramm GIMP Version 1.1.11 bearbeitet. Zuerst wird mit Hilfe eines Skriptes, die Anzahl der im Bild verwendeten Graustufen (meist nur 100 bis 150) auf 256 Graustufen erhöht und so der Kontrast verbessert. Abbildung 2.4 zeigt beispielhaft den nun folgenden Filterprozeß über die FT. Ein möglichst großer Ausschnitt der S-layer wird ausgewählt (a) und mit dem ,,GFourier Plug-In`` des Programms Fouriertransformiert. Im entstandenen Fourierbild (b) sind bei gelungener Strukturierung schon sechs, in einem Hexagon angeordnete Punkte zu sehen. Mit Hilfe des GFourier Plug-Ins wird nun hoch- und niederfrequentes Rauschen herausgefiltert. Übrig bleibt ein deutlich zu sehendes Hexagon (c) und eventuell noch weitere Nebenmaxima. Wird diese gefilterte FT wieder zurücktransformiert, tritt die gleichmäßige hexagonale Struktur deutlich hervor (d).